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正方形能够分割成两个、四个、六个、……、2n个面积相等的三角形，这个过程称为正方形的等积三角形分割。 可以先把正方形沿对角线分成两个面积相等的三角形，再把每一个三角形等积分割为n份；还可以把正方形分割为n个全等的长方形，再沿对角线把每一个正方形分成两份；……；方法实在很多。
正方形不能分割成奇数个面积相等的三角形。这是一个很难的问题，但相比于完全正方形却又简单得多，至少可以人工证明。 1965年，Richman在《美国数学杂志》上提出猜想——正方形不能分割成奇数个面积相等的三角形。5年后，Paul Monsky证明了这个猜想，因此，相关理论又被称为Monsky理论。END
把正方形分割成五份，再拼接成一个正三角形。其中一个方法是如下：正方形边长AB=a， AP=r·a（r 等于四次根号3）；PQ//EF交AD于Q；BE//AP交直线DC于E；BF⊥AP于F，且B是F、G的中点；EF交BC于K；在BE上取点M，使EM=PF；连结线段GM，并取点N，使MN=PC；NH⊥GM，交GE于H。 此时，可以证明，△EFG是正三角形，FK=EH，PQ=EK=HG。 事实上，分割成四块，就可以拼出一个正三角形，详见《三角形分割问题举例》。于是，在此基础上，把其中某一份分割成两份，整体上就是五份！ 因此，把正方形分割成五份，再拼接成一个正三角形的分割方法是无限多的！2三角形分割问题举例
把正方形改拼成一个正五边形。 看图看步骤：正五边形AEFGH和正方形ABCD；把△EFG移动到△HGL，M是线段HL中点；过M作AE的平行线，与直线EG、HA分别交于N、J；JK是平行四边形AENJ在边JA上的高；JI=BC=Sqrt【JA·JK】是正方形ABCD的边长；△GOQP≅△HJMY，且△OPQ≅DUT；△ERS≅HYZ，△IZG≅△AVW；IBAE≅JCDX，FOQRS≅YMNGZ≅WXTUV。 上面的符号“≅”表示全等。END
三个全等的小正方形分割成若干份，再拼接出一个大正方形。 方法一： 这个方法，是由10世纪的阿拉伯数学家Abul Wefa解答的。他的方法是把其中两个正方形各分成四份，第三个正方形不用动！总共是分割成了9份。 具体的步骤不多介绍，如下面的动态图，一看就明白！
方法二：在GF延长线上截取点D，使得GD=GB；连结HD交BF于A；在HG上截取N，使得HN=BA；作NM//HD交GF于M；作BE//HD交直线GF于E；BK⊥HD于K，EZ⊥HD于Z；三等分线段BE和KZ，产生三个小正方形；EQ=GM。 可以发现，各部分只要平移就行。这个方法，把小三角形们分割为7份。
方法三：把三个正方形排到一起，如下图进行分割；把△ABC平移到△EFD的位置；把△BEG平移到△CFH的位置，成功。 你数数原来的三个正方形被分割成了多少份！答案是6份，其中仍旧有一个小正方形没动过。
把两个全等的正方形改拼为一个正方形：给定大正方形ABCD；作出正方形ABCD各边中点E、F、G、H；依次连结EF、FG、GH、HE，并取各边中点M、N、P、Q；连结AM、BN、CP、DQ。 好了，现在能拼出两个正方形了。
五个全等的正方形，分割以后，拼成一个大正方形。 看下图：给定大正方形ABCD；作出各边中点E、F、G、H；依次连结AF、BG、CH、DE；这四条直线围成正方形 I J K L。 现在，你能拼成五个小正方形吗？
十个全等的正方形组成两个十字形，把一个分割成四份，拼接到另一个上面，组成一个大正方形。 这个问题曾经是中央电视台的一期中学生智力竞赛里面的题目，有趣的是，所有考生都没有做出这个问题，全军覆没！具体原因，大概是时间太紧迫，没有思考的空隙！ 具体的步骤如动态图，看了就懂。END
关于正方形的等积三角形分割问题，只找到少许资料，而且采用了非常抽象的赋值函数进行研究，我目前还看不懂具体的证明过程。
关于正方形的改拼问题，一部分来自互联网，主要的另一部分来自一本书《世界著名平面几何经典著作钩沉几何作图专题卷》，这本书确实不错，是一部不同数学家成果的合集，值得收藏和阅读。
正方形不仅可以改拼成正三角形，而且可以改拼成2个、3个、4个、……、n个正三角形。在上面推荐的书里都可以看到。
正方形不仅可以改拼为正三角形、正五边形，还可以改拼成正六边形、平行四边形、梯形、任意三角形、任意四边形。
正方形可以改拼出任意多个全等的正方形，因为任意矩形、平行四边形都可以改拼成正方形。
我们需要思考的是：改拼的时候，怎么分割，才能使分割的份数最少？
能否用初等数学方法证明：正方形不可能分割为奇数个面积相等的三角形！