如何更加好的学习任意角的三角函数

教学目的：1.理解并掌握任意角三角函数的定义.2.理解三角函数是以实数为自变量的函数.3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.教学重点：任意角三角函数的定义.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解.www.baijialekeji.com通过对定义的剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻的认识，达到突破难点之目的. 使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.教学过程：一、复习引入：1.在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数: 2.前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数.二、讲解新课：对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离2．比值叫做的正弦记作：比值叫做的余弦记作：比值叫做的正切 记作：比值叫做的余切记作：比值叫做的正割记作：比值叫做的余割记作：根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述六个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变.当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；当角的终边在横轴上时，即＝ｋπ（ｋ∈Z）时，终边上任意一点P的纵坐标ｙ都为0，所以cot、csc无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上六种函数，统称为三角函数.3.突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用③三角函数是以“比值”为函数值的函数④而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.⑤定义域：对于正弦函数，因为ｒ＞0，所以恒有意义，即取任意实数，恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数，因为x＝0时，无意义，即tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是.从而有4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.(5)比值只与角的大小有关.(6)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的. 即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离， 正切函数值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标.(7)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.三、讲解范例：例1已知角的终边经过点P(2，－3)(如图)，求的六个三角函数值.解：∵x＝2，ｙ＝－3∴于是例2求下列各角的六个三角函数值.(1)0 (2)π (3) (4)解：(1)因为当＝0时，x＝ｒ，ｙ＝0，所以sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0不存在sec0=1 csc0不存在(2)因为当＝π时，x＝－ｒ，ｙ＝0，所以sinπ＝0 cosπ＝－1 tanπ＝0 cotπ不存在secπ＝－1 cscπ不存在(3)因为当时，x＝0，ｙ＝－ｒ，所以不存在不存在(4)当a=时 ,所以 sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0 sec不存在 csc=1例3填表：a 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 例4 ⑴ 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值⑵已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a¹0)求2sina+cosa的值 解：⑴由定义 ： sina=- cosa=∴2sina+cosa=-⑵若则sina=- cosa=∴2sina+cosa=-若则sina= cosa=-∴2sina+cosa=例5求函数的值域解： 定义域：cosx¹0 ∴x的终边不在x轴上又∵tanx¹0 ∴x的终边不在y轴上当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2当x是第Ⅱ象限角时,|cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2当x是第Ⅲ象限角时, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=0当x是第Ⅳ象限角时, |cosx|=cosx |tanx|=-tanx ∴y=0四、课堂练习：1.若点P(－3，ｙ)是角α终边上一点，且，则ｙ的值是.答案：2.角的终边上一个点P的坐标为(5a,-12a)(a≠0)，求sin+2cos的值. 解：依题意得：x=5a,y=-12a, ∴(1)当a>0时，角α是第四象限角，则,∴sin+2cos=-; (2)当a<0时，角是第二象限角，则.∴cos+2cos=.五、小结本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到.六、课后作业：课本 P习题已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，–2）(x≠0)，且，求sinθ和tanθ的值.分析：，又，即ｒx＝3x由于x≠0，∴ｒ＝3 ∴x2＋4＝9 x2＝5，x＝±.当x＝时，P点的坐标是（，－2）.当x＝－时，P点的坐标是（－，－2）.答案：当x=时，当x=–时，七.课后记:课题：4.3 任意角的三角函数（二）教学目的：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离2.比值叫做的正弦记作：比值叫做的余弦记作：比值叫做的正切记作：比值叫做的余切记作：比值叫做的正割记作：比值叫做的余割记作：以上六种函数，统称为三角函数.3.突出探究的几个问题：①角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用③三角函数是以“比值”为函数值的函数④而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.⑤定义域： R R 4.注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2)OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关.(5)比值只与角的大小有关.二、讲解新课： 1. 三角函数在各象限内的符号规律：第一象限：∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0第二象限：∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0第三象限：∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0第四象限：∴sina0,cosa0,tana0,cota0,seca0,csca0记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.为正全正为正为正2.终边相同的角的同一三角函数值相等例如390°和-330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°=sin30° cos390°=cos30°sin(-330°)=sin30°cos(-330°)=cos30°诱导公式一（其中）:用弧度制可写成这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．三、讲解范例：例1确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）（3）tan（－672°） (4)解：(1)∵250°是第三象限角∴cos250°＜0(2)∵是第四象限角，∴(3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0(4) 而是第四象限角，∴.例2求证角θ为第三象限角的充分必要条件是证明：必要性：∵θ是第三象限角，∴充分性：∵sinθ＜0，∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.∴θ为第三象限角.例3 求下列三角函数的值(1)sin1480°10′ (2)（3）.解:(1)sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）＝Sin40°10′＝0.6451(2) (3)例4求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°．解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tg(360°+135°)．=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tg135°=-1=0四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号.解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角.∴sin100°＞0,cos240°＜0,于是有sin100°·cos240°＜0.(2)∵∴5是第四象限的角∴sin5＜0,tan5＜0,于是有sin5+tan5＜0.2. .x取什么值时,有意义?分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零.解:由题意得解得: 即:所以,当时，有意义.3．若三角形的两内角a，b满足sinacosb0，则此三角形必为……（B）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（B）A：sina+cosa0 B：tana-sina0C：cosa-cota0 D：cotacsca05．已知q是第三象限角且，问是第几象限角？解：∵∴则是第二或第四象限角又∵则是第二或第三象限角∴必为第二象限角6．已知，则q为第几象限角？解：由∴sin2q0∴2kp2q2kp+p∴kpqkp+∴q为第一或第三象限角五、小结本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础.六、课后作业： 1.确定下列三角函数值符号：2.化简. 解法一：(定义法) 设点P(x,y)是角α终边上的一点，且|OP|=r,则将sinα=,cosα=,tanα=,cotα=代入得：原式=解法二：(化弦法) 原式=解法三：(换元法) 设cos2α=a,则sin2α=1-a,tan2α=,代入得原式评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.七、板书设计（略）八、课后记：已知sin3α+cos3α=1,求下列各式的值：(1)sinα+cosα；(2)sin4α+cos4α分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于sinα+cosα的方程，然后求解. (1)解法一：∵(sinα+cosα)3=sin3α+3sin2αcosα+3sinαcos2α+cos3α=(sin3α+cos3α)+3(1-cos2α)cosα+3(1-sin2α)sinα=1+3cosα-3cos3α+3sinα-3sin3α=1+3(sinα+cosα)-3(sin3α+cos3α) =3(sinα+cosα)-2. ∴(sinα+cosα)3-3(sinα+cosα)+2=0. 令sinα+cosα=t,则t3-3t+2=0(t-1)2(t+2)=0. ∴t=1或t=-2 即sinα+cosα=1或sinα+cosα=-2(舍去). 解法二：∵sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=(sinα+cosα)(1-sinαcosα). ∴(sinα+cosα)(1-sinαcosα)=1. 注意到sinαcosα可用sinα+cosα表示，并令sinα+cosα=t,则sinαcosα=,故上式化为t(1-)=1t3-3t+2=0.(下同解法一). (2)解：∵sinα+cosα=1，∴(sinα+cosα)2=1sinαcosα=0. 故sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α=1. 评注：对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.