用Mathematica研究曲线论（二）

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求双曲螺旋r[t_]:={Cosh[t],Sinh[t],t}从t=0起计算的弧长。r[t_]:={Cosh[t],Sinh[t],t} ParametricPlot3D[r[t],{t,0,2 Pi}]ArcLength[r[t],{t,0,t}]

三次挠曲线r[t_]:={t,t^2,t^3}的切线和法平面方程。r[t_]:={t,t^2,t^3};p={x,y,z};ParametricPlot3D[r[t],{t,0,1}]Eliminate[p-r[t]-ar'[t]==0,a](p-r[t]).r'[t]

求证：圆柱螺旋r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t}的切线和z轴夹角成定值。r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/3} ParametricPlot3D[r[t],{t,0,2 Pi}]Assuming[t>0,VectorAngle[r'[t],{0,0,1}]]//FullSimplify

q求悬链线r[t_]:={t,2 Cosh[t/2]}从t=0起计算弧长。r[t_]:={t,2 Cosh[t/2]} ParametricPlot[r[t],{t,-2,2}]ArcLength[r[t],{t,0,t}]

求抛物线y=x^2在区间[-a,a]之间的弧长。r[t_]:={t,b t^2} ParametricPlot[r[t]/.b->1,{t,-2,2}]Assuming[{a>0,b>0},ArcLength[r[t],{t,-a,a}]]//TraditionalForm

求星形线r[t_]:={Cos[t]^3,Sin[t]^3}的弧长。r[t_]:={Cos[t]^3,Sin[t]^3} ParametricPlot[r[t],{t,0,2 Pi}]ArcLength[r[t],{t,0,t}]//TraditionalFormArcLength[r[t],{t,0,2 Pi}]//TraditionalForm

求旋轮线r[t_]:={t-Sin[t],1-Cos[t]}在区间【0，2π】之间的弧长。r[t_]:={t-Sin[t],1-Cos[t]} ParametricPlot[r[t],{t,0,6 Pi}]ArcLength[r[t],{t,0,t}]//TraditionalFormArcLength[r[t],{t,0,2 Pi}]//TraditionalForm

求曲线｛x^3==3 a^2 y,2 x z==a^2｝在平面y=a/3和平面y=9 a之间的弧长。当y=a/3时，x=a；当y=9 a时，x=3 a；r[x_]:={x,(x^3)/(3 a^2),(a^2)/(2 x)} ParametricPlot3D[r[x]/.a->1,{x,1,3}]ArcLength[r[x],{x,a,3 a}]//TraditionalForm

把圆柱螺旋r[t_]:={a Cos[t],a Sin[t],b t} 化为自然参数方程的形式。r[t_]:={a Cos[t],a Sin[t],b t} ArcLength[r[t],{t,0,t}]//TraditionalForm然后，{a Cos[t],a Sin[t],b t} /.t->s/Sqrt[a^2+b^2]检测一下：r[s_]:={a Cos[t],a Sin[t],b t} /.t->s/Sqrt[a^2+b^2]r[s]r'[s]r'[s].r'[s]r'[s].r'[s]//FullSimplify