对数均值不等式是什么

如下：设f(x)=e^(x-1)– x，f’(x)=e^(x-1)-1；f”(x)=e^(x-1)。f(1)=0，f’(1)=0，f”(x)>0，所以f(x)在x=1有绝对的最低值。f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0。所以e^(x-1) ≥ x。设xi>0，i=1，n。算术平均值为a=(x1+x2+x3+…+xn)/n，a>0。x/a ≤ e^(x/a-1)。(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a ) ≤ e^(x1/a-1) e^(x2/a-1)e^(x3/a-1)… e^(xn/a-1)。=e^(x1/a-1+x2/a-1+x3/a-1+…xn/a-1)。=e^[(x1+x2+x3+…+xn)/a-n]。=e^[na/a-n]=e^0=1。所以：(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a )。=(x1*x2*x3*…*xn)/a^n ≤ 1。即(x1*x2*x3*…*xn) ≤ a^n。(x1*x2*x3*…*xn)^(1/n) ≤ a ,即算术平均数大于等于几何平均数。相关内容解释关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。