了解半衰期理解指数衰减。指数衰减发生在一般指数函数中{\ displaystyle f（x）= a ^ {x}，} 哪里 {\ displaystyle | a | <1。}换句话说，如 {\ displaystyle x} 增加， {\ displaystyle f（x）}减少并接近零。这正是我们想要描述半衰期的那种关系。在这种情况下，我们想要{\ displaystyle a = {\ frac {1} {2}}，} 所以我们有这种关系 {\ displaystyle f（x + 1）= {\ frac {1} {2}} f（x）。}
用半衰期来重写。当然，我们的函数不依赖于泛型变量{\ displaystyle x，} 但时间 {\ displaystyle t。}{\ displaystyle f（t）= \ left（{\ frac {1} {2}} \ right）^ {t}}但是，简单地更换变量并不能告诉我们所有的事情。我们仍然必须考虑到实际的半衰期，这对我们的目的是一个常数。然后我们可以添加半衰期 {\ displaystyle t_ {1/2}}进入指数，但我们需要小心如何做到这一点。物理学中指数函数的另一个性质是指数必须是无量纲的。由于我们知道物质的数量取决于时间，因此我们必须除以以时间为单位的半衰期来获得无量纲的量。这么做也意味着这一点 {\ displaystyle t_ {1/2}} 和 {\ displaystyle t}也以相同的单位进行测量。因此，我们获得以下功能。
合并初始金额。当然，我们的功能{\ displaystyle f（t）}因为它只是一个相对函数，用于衡量给定时间之后剩下的物质的量，以初始量的百分比表示。我们所需要做的就是添加初始数量{\ displaystyle N_ {0}。}现在，我们有一个物质半衰期的公式。
解决半衰期问题。原则上，上述公式描述了我们需要的所有变量。但是，假设我们遇到了未知的放射性物质。在经过的时间之前和之后直接测量质量很容易，但不是半衰期。所以让我们用其他测量（已知）变量来表示半衰期。这样做并没有新的表达方式; 相反，这是一个方便的问题。下面，我们一次一步地完成这一过程。按双方初始金额划分 {\ displaystyle N_ {0}。}{\ displaystyle {\ frac {N（t）} {N_ {0}}} = \ left（{\ frac {1} {2}} \ right）^ {\ frac {t} {t_ {1/2} }}}以对数为底数 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}}，}双方。这降低了指数。{\ displaystyle \ log _ {1/2} \ left（{\ frac {N（t）} {N_ {0}}} \ right）= {\ frac {t} {t_ {1/2}}}}乘以两边 {\ displaystyle t_ {1/2}}并将整个左侧的两侧分开以解决半衰期。由于最终表达式中有对数，所以您可能需要计算器来解决半衰期问题。
问题1： 180秒后300克未知放射性物质衰减到112克。这种物质的半衰期是多少？解决方案：我们知道最初的金额{\ displaystyle N_ {0} = 300 {\ rm {\ g}}，} 最终金额 {\ displaystyle N = 112 {\ rm {\ g}}，} 和经过的时间 {\ displaystyle t = 180 {\ rm {\ s}}。}回想一下半衰期公式 {\ displaystyle t_ {1/2} = {\ frac {t} {\ log _ {1/2} \ left（{\ frac {N（t）} {N_ {0}}} \ right）}}。 } 半衰期已经是孤立的，所以简单地替代和评估。{\ displaystyle {\ begin {align} t_ {1/2}＆= {\ frac {180 {\ rm {\ s}}} {\ log _ {1/2} \ left（{\ frac {112 { rm {\ g}}} {300 {\ rm {\ g}}}} \ right）}} \\＆\ approx 127 {\ rm {\ s}} \ end {aligned}}}检查解决方案是否有意义。由于112克小于300克的一半，至少必须有一个半衰期已过。我们的答案检查出来。
问题2：核反应堆生产20公斤铀-232。如果铀-232的半衰期约为70年，腐蚀到0.1公斤需要多长时间？解决方案：我们知道最初的金额{\ displaystyle N_ {0} = 20 {\ rm {\ kg}}，} 最终金额 {\ displaystyle N = 0.1 {\ rm {\ kg}}，} 和铀-232的半衰期 {\ displaystyle t_ {1/2} = 70 {\ rm {\ years}}。}重写半衰期公式以解决时间问题。{\ displaystyle t =（t_ {1/2}）\ log _ {1/2} \ left（{\ frac {N（t）} {N_ {0}}} \ right）}替代和评估。{\ displaystyle {\ begin {aligned} t＆=（70 {\ rm {\ years}}）\ log _ {1/2} \ left（{\ frac {0.1 {\ rm {\ kg}}} {20 { \ rm {\ kg}}}} \ right）\\＆\ approx 535 {\ rm {\ years}} \ end {aligned}}}记得直观地检查你的解决方案，看看它是否有意义。