在抽象代数入门阶段，经常碰到这样一个问题：求证群G的某两个元素是共轭元素。这时候，可能有些人就会陷入迷阵。本文，借用两个具体的问题，加以说明。
工具/原料
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电脑
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Mathematica11.2
问题一
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设a和b是群G的两个元素，求证：ab和ba共轭。这是郭老师的《代数》第二章第三节的第二个习题。
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群论里面的共轭，若说x是y的共轭，也就是说在G里面存在元素z，使得y=zxz'，其中z'是z在G中的逆。于是乎，我们要证明ab和ba共轭，只需要找一个元素z，使得ba=zabz'就可以了。
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实际上，z=ba'就满足要求，此时，z'=b'a。
问题二
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这是《代数》第二章第三节的第七个习题，题目如下图所示。
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说白了，就是找一个2阶可逆矩阵c，使得：a = {{1, 1}, {0, 1}};b = {{1, 0}, {1, 1}};b==c.a.c0其中，c0是c的逆矩阵。这一点，可以通过解方程实现。
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检验一下：c = {{0, p}, {p, q}};c0 = Inverse[c] // Simplify;只要我们保证p≠0，c就一定可逆。
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另一方面，c的行列式等于-p^2，由于p是实数，所以-p^2不可能等于1，也就是说，c不可能属于SL2(R)。因此，题目中的两个矩阵在SL2(R)里面不共轭。
注意事项
看看图中的第八题，你能证明那两个矩阵共轭吗？