本文，来寻找代数数域F=Q(根号3，根号5)的整基。
工具/原料
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电脑
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markdown编译器
方法/步骤
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很容易知道，1、根号3、根号5、根号15是F的一个基。我们要证明，这恰好是F的整基。于是，F里面的每一个代数整数ω，都可以用1、根号3、根号5、根号15的有理数组合表示出来。
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根据上面的结果，可以指出下图所示的结果。
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r1和r2可以是整数，也可以是半整数。下面就来分类讨论。如果r1是半整数，r2是半整数，下面证明这是不可能的。
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因为10r3r4-1/2是整数，那么r3*r4就只能是有理数，且分母含有素因子2和5，且2的指数是2，5的指数是1。先证明r3=u+1/4、r4=v+1/5、u,v属于整数，是不可能的。因为40u+33不是偶数。
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再证明，r3=u+1/5、r4=v+1/4是不可能的。
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接着证明，r3=u+1/2、r4=v+1/10是不可能的。完全一直的分析过程，可以证明r3=u+1/10、r4=v+1/2是不可能的。
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如果r3是整数，那么r4=v+1/20也是不可能的。
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这样的话，就等于证明了r1和r2不可能是半整数。类似的，可以证明，r1和r2都不可能是半整数，也就是说，r1和r2都是整数。
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于是，1、根号3、根号5、根号15是F的整基。