勾股定理逆定理证明方法

根据余弦定理，在△ABC中，cosC=(a²+b²-c²）÷2ab。由于a²+b²=c²，故cosC=0；因为0°<∠C<180°，所以∠C=90°。（证明完毕）

已知在△ABC中，，求证∠C=90°证明：作AH⊥BC于H⑴若∠C为锐角，设BH=y,AH=x得x²+y²=c²，又∵a²+b²=c²，∴a²+b²=x²+y²（A）但a>y,b>x，∴a²+b²>x²+y²（B)（A）与（B）矛盾，∴∠C不为锐角⑵若∠C为钝角，设HC=y,AH=x得a²+b²=c²=x²+(a+y)²=x²+y²+2ay+a²∵x²+y²=b²，得a²+b²=c²=a²+b²+2ay2ay=0∵a≠0，∴y=0这与∠C是钝角相矛盾，∴∠C不为钝角综上所述，∠C必为直角

已知在△ABC中，a²+b²=c²，求证△ABC是直角三角形证明：做任意一个Rt△A'B'C'，使其直角边B'C'=a，A'C'=b，∠C'=90°。设A'B'=c'在Rt△A'B'C'中，由勾股定理，得A'B‘²=B'C'²+A'C'²=a²+b²=c’²一∵a²+b²=c²，∴c‘=c在△ABC和A'B'C'中，∵AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'，∴△ABC≌△A'B'C'∴∠C=∠C'=90°

如图，已知在△ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，且a²+b²=c²。求证∠ACB=90°证明：在△ABC内部做一个∠HCB=∠A，使H在AB上。∵∠B=∠B,∠A=∠HCB∴△ABC∽△CBH(有两个角对应相等的两个三角形相似)∴AB/BC=BC/BH，即BH=a²/c而AH=AB-BH=c-a²/c=(c²-a²)/c=b²/c∴AH/AC=(b²/c)/b=b/c=AC/AB∵∠A=∠A∴△ACH∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)∴△ACH∽△CBH(相似三角形的传递性)∴∠AHC=∠CHB∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180°∴∠AHC=∠CHB=90°∴∠ACB=∠AHC=90°

勾股弦的比例为1：√3 ：2（一个锐角为30°的直角三角形）

勾股弦的比例为1：1：√:2（等腰直角三角形）