在二重积分、三重积分中积分区域的数学表示

在高等数学中，在二重积分和三重积分计算中要把重积分转化为累次积分，最后变为求定积分，这个转化对于很多初学者是个难点。其关键是要把积分区域用点的坐标所满足的不等式表示出来。我查找了一些参考书，希望能够提供帮助（为方便起见，二重、三重积分符号均用“ ∫”表示）第一部分，二重积分积分区域的表示求 ∫xydxdy，它是由x轴、y轴和单位园x^2+y^2=1在第一象限中构成的图形。原理:把二重积分的积分区域D用点的坐标所满足的不等式表示，关键是确定D的上、下边界曲线且曲线能用函数表示。计算方法找一个坐标轴，使过它的垂线与区域D的边界曲线至多有两个交点。若为X轴，则区域D为X型区域，若为Y轴，D为Y型区域。以下以X型区域为例，即过X轴的垂线与区域D的边界曲线至多有两个交点。如果过X轴的垂线与区域D的边界曲线超过两个交点，则换Y轴。找两条垂线x=a，x=b使区域D恰夹于两条垂线之间，区域D中与两垂线相接的上方边界曲线为D的上边界曲线，下方边界曲线为D的下边界曲线。此时，两条垂线x=a，x=b与区域D的关系应是相切，特殊情况下是重合。由上题可知，D上下边界的方程为F1：y=0和F2：y=√（1-x^2），且可以看出F2为上曲线。得到积分区域 a < x < b, F1 < y < F2三重积分的积分与的计算以三重积分∫f(x,y,z)dxdydz为例，设Ω由曲面z=x^2+y^2，y=x^2，y=0和z=0构成原理：把三重积分的积分区域V用点的坐标所满足的不等式表示，关键在于找到V的上、下边界曲面且曲面能用二元函数表示。从图象上看，区域V应象一个由两个二元函数曲面所围的立体或者象有两个二元函数曲面作为上下底面的柱体，其中的两个二元函数曲面即为上，下边界曲面。步骤找一个坐标面，使过它的垂线与区域V的边界曲面至多有两个交点，以下以xoy坐标面为例，即过xoy面的垂线与V的边界曲面至多有两个交点。作区域V关于xoy面的射影，得平面区域Dxy以D的边界为准线，作母线平行于Z轴的柱面，使区域V恰接于柱面内。区域V中与柱面相接的上方边界曲面即为区域V的上边界曲面，下方边界曲面即为区域V的下边界曲面。可以确定的是，上下曲面当且仅当为两个，以此题为例，因为是取得xoy作为投影的面，因此，上下曲线必然是关于z的，因此，在此题中，找到有关于z的方程F1：z=x^2+y^2和F2：z=0，并判断上下曲线，方法是将点M（x、y）带入，求值，因为是使用特殊点，所以可能出现相等的情况，一旦出现就换点再算，但一定要注意M的取值范围。剔除掉关于z的两个曲面方程后，在面xoy上x和y的积分范围，此处于二重积分的积分范围计算方法一样得到积分范围是x^2 < y < 1，-1 < x < 1注：如果可能的话，二重积分，三重积分最好能够画出图像，此时比较容易分辨