确界存在定理：非空有上（下）界的数集，必有上（下）确界。 证法一 （利用构造性方法证明确界存在定理）
证法二 （利用单调有界定理证明确界存在定理）
证法三 （利用柯西收敛准则证明确界存在定理）
证法四 （利用区间套定理证明确界存在定理）
证法五 （利用聚点定理证明确界存在定理）
证法六 （利用致密性定理证明确界存在定理）
证法七 （利用有限覆盖定理证明确界存在定理）
单调有界定理：递增有上界数列必有极限，递减有下界数列必有极限。 证法一 （利用确界存在定理证明单调有界定理）
证法二 （利用柯西收敛准则证明单调有界定理）
证法三 （利用区间套定理证明单调有界定理）
证法四 （利用聚点定理证明单调有界定理）
证法五 （利用致密性定理证明单调有界定理）
证法六 （利用有限覆盖定理证明单调有界定理）
证法一 （利用确界存在定理证明柯西收敛准则）
证法二 （利用单调有界定理证明柯西收敛准则）
证法三 （利用区间套定理证明柯西收敛准则）
证法四 （利用聚点定理证明柯西收敛准则）
证法五 （利用致密性定理证明柯西收敛准则）
证法六 （利用有限覆盖定理证明柯西收敛准则）
证法一 （利用确界存在定理证明区间套定理）
证法二 （利用单调有界定理证明区间套定理）
证法三 （利用柯西收敛准则证明区间套定理）
证法四 （利用聚点定理证明区间套定理）
证法五 （利用致密性定理证明区间套定理）
证法六 （利用有限覆盖定理证明区间套定理）
证法一 （利用确界存在定理证明聚点定理）
证法二 （利用单调有界定理证明聚点定理）
证法三 （利用单调有界定理证明聚点定理）
证法四 （利用柯西收敛准则证明聚点定理）
证法五 （利用区间套定理证明聚点定理）
证法六 （利用致密性定理证明聚点定理）
证法七 （利用有限覆盖定理证明聚点定理）：
证法一 （利用确界存在定理证明致密性定理）
证法二 （利用单调有界定理证明致密性定理）
证法三 （利用柯西收敛准则证明致密性定理）
证法四 （利用区间套定理证明致密性定理）
证法五 （利用聚点定理证明致密性定理）
证法六 （利用有限覆盖定理证明致密性定理）
证法一 （利用确界存在定理证明有限覆盖定理）
证法二 （利用单调有界定理证明有限覆盖定理）
证法三 （利用柯西收敛准则证明有限覆盖定理）
证法四 （利用闭区间套定理证明有限覆盖定理）
证法五 （利用聚点定理证明有限覆盖定理）
证法六 （利用致密性定理证明有限覆盖定理）
确界存在定理、单调有界定理、数列的柯西收敛准则、区间套定理、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理是实数集特有的性质，在有理数集内一般不成立。
有限覆盖定理的结论只对闭区间[ a,b ]成立，而对开区间、半开半闭区间 则不一定成立。
聚点定理中的无限性显然不能去掉，而去掉有界性，定理也不再成立。
定理中的区间必须是闭区间，对于开区间、半开半闭区间列，结论可能不成立。