给定一个矩阵：A={{2,1},{1,2}}；这个矩阵确定了一个双线性型：X'.A.Y。我们的目的是，计算这个型的标准正交基。
工具/原料
1
电脑
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Mathematica
方法/步骤
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假设向量u={a,b}是标准正交基里面的一个向量，那么：u'.A.u=1这其实是一个不定方程，可以用a表示b：s1=Solve[u.A.u == 1, b]b有两个解，我们可以选择第一个。
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设v={c,d}是标准正交基里面的另一个向量，同样可以用c表示d：s2 = Solve[v.A.v == 1, d]
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这样，可以分别写出u和v：u = u /. s1[[1]]v = v /. s2[[1]]
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u和v关于型正交，就是：u'.A.v=0可以用a把c表示出来：s3 = Solve[u.A.v == 0, c]
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重新写u和v：u = u /. s3[[1]]v = Simplify[v /. s3[[1]]]
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实际上，我们还可以赋予a一个具体的值，比如a->Sqrt[2/3]：u = u /. a -> Sqrt[2/3]v = v /. a -> Sqrt[2/3]得到的标准正交基如下。
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a->0的结果是：u = u /. a -> 0v = v /. a -> 0
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