矩阵的正弦与余弦的平方和问题

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Mathematica

当A是某个数字的时候，(sinA)^2+(cosA)^2=1。

但是，当A是矩阵的话，会发生什么情况呢？首先，限定A是方形矩阵：A = {{a, b}, {c, d}}这样，A就是一个2*2的矩阵。

把A写成矩阵的形式：A//MatrixForm

计算矩阵A的正弦，实际上，是对矩阵A里面的每一个元素求正弦。Sin[A]

把Sin[A]写成矩阵的形式。

计算Sin[A]的平方，实际上是矩阵乘法：Sin[A].Sin[A]

同样，可以计算Cos[A]的平方：Cos[A].Cos[A]

进而，可以计算矩阵A的正弦与余弦的平方和：Sin[A].Sin[A] + Cos[A].Cos[A]

二阶单位矩阵是IdentityMatrix[2]。

再试验一下，当A是3阶方阵的时候：A = {{a, b, c}, {d, e, f}, {p, q, r}};

矩阵乘法的特殊性，导致很多函数公式，不能自然地推广到矩阵上面去。

要想知道矩阵A的正、余弦的平方和等于单位矩阵的条件，需要解一个复杂的方程组。