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先来画一个四焦点曲线：\sqrt{\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2}+\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+\left(y-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2+y^2}=3 把上面的式子复制粘帖到Desmos里面即可。
再来制造一个互动效果：\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}+\sqrt{\left(x-c\right)^2+\left(y-d\right)^2}+\sqrt{\left(x-a_1\right)^2+\left(y-a_2\right)^2}+\sqrt{\left(x-b_1\right)^2+\left(y-b_2\right)^2}=a_3 点击“全部”按钮，此时所有的点都重合了，试着拖动动点，看看会是什么图形！
试试a_3取不同的值，图形出现在同一个图里是怎么样的。
对于四焦点曲线，这里有三个基本问题。 第一个基本问题：到四个点（a1,a2）、（b1,b2）、（c1,c2）、（d1,d2）的距离之和的最小值是多少？当取得最小点时，它的图像是什么？是一个点，还是一条曲线？怎么求出这个最小值的具体值？
第二个基本问题：（所有焦点全在曲线上） 当这四个点都位于以它们为焦点的四焦点曲线上时，四个点是否必定能连成一个矩形？换言之，给定平面上四个点A、B、C、D，如果AB+AC+AD=BC+BD+BA=CD+CA+CB=DA+DB+DC，那么ABCD是否一定是个矩形？！
第三个基本问题：是否可以说，所有的四焦点曲线都是凸曲线？ 通过平凡的绘图，几乎可以肯定地说，所有的四焦点曲线都是凸曲线！但没有确切的理论证明。下面是我认为有可能成功的一个方法，苦于计算量过大而没能够实施！ 据说，若平面上的简单闭曲线是凸曲线，那么它的任意点的相对曲率都不变号，就是恒大于等于0，或恒小于等于0。
下面来一个动画效果： 第一行输入：\sqrt{\left(x-\cos \left(a\right)\right)^2+\left(y-\sin \left(a\right)\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\cos \left(b\right)\right)^2+\left(y-2\sin \left(b\right)\right)^2}+\sqrt{\left(x-\sqrt{2}\cos \left(c\right)\right)^2+\left(y-\sqrt{2}\sin \left(c\right)\right)^2}+\sqrt{\left(x-\frac{\cos \left(d\right)}{2}\right)^2+\left(y-\frac{\sin \left(d\right)}{2}\right)^2}=5 第二行：\left(\cos \left(a\right),\sin \left(a\right)\right) 第三行：\left(2\cos \left(b\right),2\sin \left(b\right)\right) 第四行：\left(\sqrt{2}\cos \left(c\right),\sqrt{2}\sin \left(c\right)\right) 第五行：\left(\frac{\cos \left(d\right)}{2},\frac{\sin \left(d\right)}{2}\right) 然后点击“全部”，把a、b、c、d全部变成——滑块。
用Mathematica画出3D图，把等号右边的a_3视为第三个维度z，看看最底下是什么模样，大概就能知道“当取得最小点时，它的图像是什么？是一个点，还是一条曲线？” 简单的代码：ContourPlot3D[ Sqrt[(x - 1)^2 + (y - 1)^2] + Sqrt[(x - 1)^2 + (y - 0)^2] + Sqrt[(x - 2)^2 + (y - 1)^2] + Sqrt[(x - 1)^2 + (y - 2)^2] == z, {x, 0, 4}, {y, -1, 3}, {z, 1, 5}]
Desmos的复制粘帖，用快捷键——“Ctrl+C”、“Ctrl+V”。记住，不能直接用鼠标来复制和粘贴，Desmos好像不支持。
Desmos不能够导出动态图！或许是我学艺不精，反正我没发现Desmos有这个能力。