用数学软件来处理一个高难度的几何问题

电脑

网络画板

先绘制基本图形：BC为定长为b的线段；过B作半径为a的圆，A是上面的动点；过C作半径为a的圆，D是上面的动点；

测量∠ABC和∠BCD的弧度；测量四边形ABCD的面积；绘制坐标点T——（∠BCD的弧度，四边形ABCD的面积）；由于网络画板还不支持符号计算，所以测量的时候，也只能进行数值测量。

根据D来构造T的轨迹；跟踪T轨迹，拖动点A，基本上可以找到轨迹的最高点，对应的就是最大面积。

基本绘图：无需考虑凹图形的情形，AB=a，BC=b，CD=c，∠ABC=u，∠BCD=v。那么：DA的长度就是：

几何表达式可以直接算出ABCD的面积表达式。这个面积表达式的绝对值符号可以免去。

从几何表达式里面，可以直接把数据复制到Mathematica里面。

但是，Mathematica竟然算不出这个式子的最大值，即使对a、b、c赋上具体的数值也只能得到难以处理的结果。

换个思路：要求S_ABCD的最大值，一个必要条件就是，S_ABCD关于u和v的偏导数=0。也就是：Solve[D[a b Sin[u]+b c Sin[v]-a c Sin[u+v],u]==0&&D[a b Sin[u]+b c Sin[v]-a c Sin[u+v],v]==0&&0

虽然Mathematica解不开这个问题，但是其运行结果却为我们提供了一个有用的结论：abcos(u)=accos(u+v)bccos(v)=accos(u+v)可以得到一个推论： a cos(u) = c cos(v)这说明，AB和CD在直线BC上的正投影的长度相等。

另一方面，如果同时固定DA、AB、BC、CD的长度，四边形不稳定，当这个四边形的面积达到最大值的时候，A、B、C、D必定四点共圆。

于是，得到这样一个问题：如图，B、C在直角梯形AEFD的直角腰EF上，BE=CF，且A、B、C、D四点共圆，能否证明：∠ABD=∠ACD=90°？如果这个结论成立，那么，我们就可以说：当∠ABD=∠ACD=90°时，四边形ABCD的面积最大。