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先来画出需要的图像：给定定理中四点形的四个顶点A、B、C、D，要求任意三点不共线。
画一条直线EF，要求EF不经过A、B、C、D任意一点。
在直线EF上选一个动点X。
选中A、B、C、D、X五个点，构造【过五点圆锥曲线】，设这条曲线为Ω。
设Ω与直线EF的另一个交点是Y。
X是动点，那么X和Y是对合。
当X和Y重合，所在位置就是对合的不动点，或者说叫做二重元素。当直线EF处于不同位置的时候，不动点的数目可能不相同。
当A、D、X共线，那么B、C、Y共线；此时，二次曲线Ω退化为双直线AD和BC。
当B、D、X共线，那么A、C、Y共线。此时，AD、BC、BD、AC围成一个完全四边形。
先介绍两个事实：事实之一——————平面上任意三点不共线的五点确定一条圆锥曲线。特殊情况是，如果其中某三点共线，另外两点就确定另一条直线，这就是双直线。
事实之二——————平面上直线EF与二次曲线Ω（上面四点A、B、C、D和X确定的二次曲线）只有两个交点。需要注意的事情是：1、如果二次曲线Ω与直线EF相切，可以视为两个交点重合；2、如果二次曲线Ω与直线EF不相交（比如椭圆与直线EF相离），可以视为二者有两个虚交点；3、如果二次曲线Ω退化为双直线（任意三点不共线的四个点A、B、C、D决定了二次曲线Ω不可能退化为单直线的平方），而直线EF不经过A、B、C、D任意一点，那么直线EF与双直线Ω有两个交点。4、特别的，如果EF与双直线Ω的某一分支平行，则其中一个交点就是无限远点。如下图，EF//BC，且A、D、X共线，那么Y就是BC与EF在无限远处的交点。
对合，可以理解为一个变换过程f：f(f(X))=X下面我就来说明这个变换Y=f(X)的具体过程：平面上给定四个顶点A、B、C、D，直线EF不经过A、B、C、D四点，X是EF上的任意一点，A、B、C、D、X五点确定一条二次曲线Ω，直线EF与Ω相交于异于X的点Y，就是f(X)=Y的具体过程。这个过程也有f(Y)=X，因此这是一个对合，不需要代数证明。