数系的简单介绍

《周髀算经》中提到“一尺之棰,日取其半,万世不竭。” 我们从这句话开始对数系的简单介绍. (鉴于这里并不能进行很好的数学排版, 最后一张图片就是全部内容在 Mathematica 下经过整理后格式)首先是最简单的数系, 叫做自然数 Natural . 通常用上面图片中N 的特殊写法(黑板粗体字 ) 来表示.自然数对于算术上来说呢, 就最重要的, 因为我们最早数数的时候, 就是自然数的表示方法. 不过请注意, 按照国际标准化组织规定, 自然数包含了 0 的.现在把我们的视野扩充一点, 来看看整数 Integer (Z)来自于德语的一个单词 Zahl : 数字, 数数, 作为动词 zahlen 也有付款的意思 ), 整数要比自然数来的更多, 它所多出来就是数轴往右的负数部分. 再往上来看, 有理数 Quotient 比起整数就更多了. 它的表示法要比前面两个复杂的多了, 我们能把它写成分数的形式, 就叫做有理数. "有理"不是代表它有道理的, 只是"有理"这个词是个不幸的翻译, 是从 Rational 翻译过来的, 而 Rational 其实是从 Ratio 的形容词, 就是比例, 成比例的数, 成比例的整数. 我们回到《周髀算经》的那句话, 两个有理数 1 和 2 相加再除以 2, 有理数加有理数除以 2 一定还是有理数, 也就是 1.5, 那1.5 与 2 之间还有1.75, 是不是感觉里边的点会越来越密. 只要有两个非常靠近的有理数, 它中间又会有一个有理数, 那么我们就称整个有理数具有稠密性 density , 就是说他们会非常非常的密, 那他到底有多密呢? 那有理数是不是全部慢慢的补满了整个数轴了呢? 可以告诉各位的话, 他其实还是不够密的, 还是会有漏洞.古希腊的数学家就研究过一个题目, 直角三角形两条边长度为 1. 那么第三条边是 Sqrt[2], 他们发现是 Sqrt[2]永远无法写成有理数的形态. 于是我们知道说, 有理数中间还有很多很多的漏洞. 那些漏洞是应该由无理数所填满. 所以说, 有理数具有稠密性, 虽然他非常密, 但是他还是有漏洞.那么现在我们要介绍的是比有理数更多更多数字的是叫做 实数 Real . 实数包括所有的有理数和无理数, 实数可以直观地看作小数(有限或无限的),它们就能够把数轴"填满"。小经验:1. 在 Mathematica 下的 N, Z , Q , R 输入分别是 \[DoubleStruckCapitalN], \[DoubleStruckCapitalZ] , \[DoubleStruckCapitalQ], \[DoubleStruckCapitalR] , 当然更加方便的是利用书写助手面板进行输入.经过 Mathematica 下的排版图片: