电脑
几何画板
z+z超级画板
几何图霸
这里的问题，都来自新浪博客的《听雨室》——数学——几何作图问题集 第一个问题： 给定△ABC，在直线BC同侧作两点D、E，使得D在直线AB上、E在直线AC上，且BD=DE=EC。 网友Thufox给出的方法如下： 作△ABC的外接圆； 取弧BAC的中点M； 以B为圆心、(BC·AM/BM)为半径作圆，与△ABC的外接圆交于X、X'； 直线MX、MX'分别与直线AB交于D、D'； 分别作△AMD、△AMD'的外接圆，与直线AC交于E、E'。 此时，可以证明BD=DE=EC，BD'=D'E'=E'C。
第一个问题的引申： 给定△ABC，取两点D、E，使得D是直线AB上的动点、E是直线AC上的动点，DE=CE，且D、E在直线BC同侧。 作图及观察： 过C作直线AB的平行线，取这条平行线上的点F； 过D作直线BC的平行线，与直线CF交于E'； 作∠ACF的平分线m； 作E'关于m的对称点E； 这样，就能保证D、E位于直线BC同侧。 连结直线DE,选中直线DE，并追踪这条直线； 单独选中D，生成D的动画； 可以发现，DE中点P的轨迹是一条直线； △ADE的外接圆的圆心的轨迹平行于P的轨迹； △ADE的外接圆过一个定点N； 直线DE的包络线是一条抛物线，这条抛物线与AB、AC相切，且以N为交点。
在《听雨室》的几何作图问题集8里面看到了一些有趣的问题。其中，有一个问题，曾经作为悬赏问题刊登过(这里的字母有所改动)： 给定△KLM，要求在LM边上取点W，使得△KLW和△KMW的内切圆相等。 解法如下： 设△KLM的内心为I； 作△KLM内切圆，取弧LKM的中点N； 以N为圆心、NL为半径作圆，与射线IK交于O； 连结OL、OM； 过K分别作OL、OM的平行线，且分别与LI、MI交于H、P； 连结KH，作直线KL关于KH的对称直线，与LM的交点，就是所求的点W。 此时，△KLW和△KMW的内切圆相等，H、P分别是两个内切圆的圆心。
等内切圆定理： △ABC边AB上一点W，∠BCM的平分线与AB交于I，∠ACM的平分线与AB交于J。如果△BAM和△CAM的内切圆半径相等，那么，IM=JM。 证明： 设S[△BCW]表示△BCW的面积； L[△BCW]表示△BCW的周长； ∵ △BAM和△CAM的内切圆半径相等； ∴ S[△BCW]/S[△ACW]=L[△BCW]/L[△ACW]=BW/AW=(BC+CW+BW)/(AC+CW+AW)=(BC+CW)/(AC+CW)； ∴ (BC+CW)/BW=(AC+CW)/AW=(sin(β+θ)+sinα)/sinγ=(sin(α+γ)+sinβ)/sinθ； ∵ (sin(β+θ)+sinα)/sinγ=(cos(γ/2)·cos(β+θ-α/2))/(sin(γ/2)·cos(γ/2))=(cos(β+θ-α/2))/sin(γ/2)=sin(2α+γ/2)/sin(γ/2)； 同理：(sin(α+γ)+sinβ)/sinθ=sin(2β+θ/2)/sin(θ/2)； ∴ sin(2α+γ/2)/sin(γ/2)=sin(2β+θ/2)/sin(θ/2)=CW/IW=CW/JW； ∴ IW=JW。
留几个难题给大家。 问题一： 在△DEF所在的平面上找点T，使得△DTE、△DTF、△TEF的内切圆半径相等。 问题二： 在△DEF的边EF上找两个点G、H，使得△DEG、△DGH、△DHF的内切圆半径相等。 问题三： 在△DEF的边EF上有两点J、K，如果△JED、△DKF的内切圆半径相等，求证： △DEK、△DFJ的内切圆半径也相等。
问题来源：《听雨室》——几何作图问题集27——过三角形内一点作它的周长的平分线。 具体问题：过△ABC内的点J作△ABC的周长平分线。 作图步骤： 度量线段AB、BC、AC的长度，计算n=(AB+BC+AC)/4； 以A为圆心、n为半径作圆，与射线AB、AC分别交于G、I； 过G作AB的垂线，与∠BAC的平分线交于F； 构造点D，使得△DFJ和△AGI是顺相似形； 以D为圆心、DF为半径作圆，与射线AB交于H(离A较远的那个交点)； 那么直线HJ就平分△ABC的周长。这个方法是不完备的，H点可能无法做出。
过三角形内一点作它的面积的平分线。 具体问题：过△HGF内的点E作直线，平分△HGF的面积。 作图步骤： 取GF中点I，连结GE、EI； 构造点J，使得△HGJ和△EGI是顺相似三角形； 过E作GF的平行线，与GJ交于K； △JKE的外接圆与线段HG交于L； 那么直线EL平分△HGF的面积。
过三角形外一点作面积的平分线。 具体问题：过△EFG外的点H，作直线，使之平分△EFG的面积。 作图步骤： 取线段EF中点I，连结FH、HI； 作点J，使得△FGJ与△FHI是顺相似三角形； 过H作EF的平行线，与FJ交于K； △HKJ的外接圆与线段FG交于L； 那么，直线HL就是△EFG的面积平分线。 怎么作三角形面积和周长的共同平分线？事实上，过内心作三角形的面积的平分线，必定也是三角形周长的平分线。
下面的问题挺难，至少我目前没办法圆满解决：
作图题：给定△ABC和线段XY，在直线BC同侧作两点D、E，使得D在直线AB上、E在直线AC上，且BD=EC，DE=XY。
包络线：怎么用几何画板作出直线DE的包络线（要求是轨迹曲线）——给定△ABC，取两点D、E，使得D是直线AB上的动点、E是直线AC上的动点，DE=CE，且D、E在直线BC同侧？
作图题：在△DEF所在的平面上找点T，使得△DTE、△DTF、△TEF的内切圆半径相等。
作图题：在△DEF的边EF上找两个点G、H，使得△DEG、△DGH、△DHF的内切圆半径相等。
作图题：在△DEF的边EF上有两点J、K，如果△JED、△DKF的内切圆半径相等，求证： △DEK、△DFJ的内切圆半径也相等。
包络线：怎么作出三角形所有的周长平分线的包络线以及包络线的轨迹曲线？
包络线：怎么作出三角形所有的面积平分线的包络线以及包络线的轨迹曲线？