关于等角共轭点，是相对于给定的几何图形而言的。如果给定一个三角形，那么平面上几乎所有的点都有对应的等角共轭点（除了三角形边界上的点）；三角形的等角共轭点的自由度是2，它们的集合构成一个面。给定一个凸五边形，那么，它存在唯一一对等角共轭点，自由度是0。而边数超过五的多边形，有可能不存在等角共轭点。最复杂的，当属四边形的等角共轭点，所有的等角共轭点的集合，构成一条三次曲线，自由度是1。
工具/原料
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电脑
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网络画板
基本图形
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设一条直线AB与椭圆切于X，椭圆的焦点是P和Q，那么，直线AB是∠PXQ的外角平分线。这个结论无需计算，稍微动动脑，就可以发现，这是显然的：设Q关于AB的对称点是R；观察发现，直线AB上，到P和Q的距离之和最小的点就是X；所以，P、R、X三点共线；所以，AB平分∠QXR。
2
如果椭圆外一点A到椭圆的两条切线分别是AX和AY，焦点是P和Q，那么，∠XAY和∠PAQ有相同的角平分线。也就是∠YAP=∠XAQ。
3
如果椭圆外一点A到椭圆的两条切线分别是AX和AY，焦点是P和Q，那么，P和Q在AX和AY上的投影点共圆，圆心是PQ中点。
4
如果四边形ABCD的四条边都与椭圆相切，P和Q是切点，那么，P和Q在四边的投影点共圆，圆心是椭圆中心。
5
P和Q是关于四边形ABCD的等角共轭点。
6
如果椭圆是四边形的内切椭圆，那么，∠APB+∠CPD=180°。
7
如果椭圆是四边形ABCD的旁切椭圆，那么，∠APB=∠CPD。
8
如果把整个图形放在复平面上，那么A、B、C、D、P、Q就对应六个复数；又因为∠APB+∠CPD=180°或∠APB=∠CPD，所以：(P-A)/(P-B)*(P-C)/(P-D)是实数，也就是虚部等于0。
10
一个问题：凸四边形ABCD的对角线的中点分别是E、F，G是线段EF上的点（不包括端点E和F），（1）、求证：ABCD内存在唯一的内切椭圆，以G为中心；在不画出椭圆的前提下作图：（2）、确定椭圆与四边形各边的切点；（3）、确定这个椭圆焦点的位置。
注意事项
关于四边形ABCD，P存在等角共轭点，等价于，P到四边的投影点共圆，等价于，P是某条与四边相切的圆锥曲线的焦点，等价于，P到AB和CD的所张开的有向角相等，等价于，在复平面上(P-A)/(P-B)*(P-C)/(P-D)的虚部等于0。
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