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初值问题 范德波德莫是定义范德波尔方程的函数。type vanderpoldemo
按“Enter”键。如图1所示。
方程被写成一个二阶一阶赋格。对于参数Mu的不同值，对它们进行计算。为了加快积分速度，我们根据参数μ的值来选择合适的求解器。 对于μ=1，任意一个MATLAB的ODE解算器都能有效地求解范德波尔方程。下面使用的ODE45求解器就是这样一个例子。方程在[0,20]域内求解。tspan = [0, 20];y0 = [2; 0];Mu = 1;ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);[t,y] = ode45(ode, tspan, y0); % Plot of the solutionplot(t,y(:,1))xlabel('t')ylabel('solution y')title('van der Pol Equation, \mu = 1')
按“Enter”键。得图2所示。
对于较大的μ量级，问题变得棘手。快速积分需要特殊的数值方法。ODe15S、ODe23S、ODe23T和ODe23Tb能有效地解决刚性问题。这里是一个解决范德波尔方程的μ=1000使用ODe15S。tspan = [0, 3000];y0 = [2; 0];Mu = 1000;ode = @(t,y) vanderpoldemo(t,y,Mu);[t,y] = ode15s(ode, tspan, y0); plot(t,y(:,1))title('van der Pol Equation, \mu = 1000')axis([0 3000 -3 3])xlabel('t')ylabel('solution y')
按“Enter”键。得图3所示。
边值问题 Bvp4C求解常微分方程边值问题。示例函数TWOODE有一个微分方程，它被写成二阶一阶ODEs系统。type twoode
TWOBC的边界条件。type twobc
在使用Bvp4C之前，我们必须为我们想要在网格上表示的解决方案提供一个猜测。然后求解器调整网格以细化解决方案。 BVPINIT以求解器Bvp4C所需的形式集合了最初的猜测。对于初始网格[0 1 2 3 4]和常量猜测的y(x)=1，y'(x)=0，像这样调用BVPINIT：solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[1; 0]);
有了这个初步的猜想，我们就可以解决Bvp4C的问题。 溶液溶胶（如下图），然后用DEVAL计算并绘制。sol = bvp4c(@twoode, @twobc, solinit); xint = linspace(0, 4, 50);yint = deval(sol, xint);plot(xint, yint(1,:),'b');xlabel('x')ylabel('solution y')hold on
按“Enter”键。得图4所示。
这个特殊的边值问题正好有两个解。得到的另一个解是对 y(x) = -1, y'(x) = 0像以前一样画图。solinit = bvpinit([0 1 2 3 4],[-1; 0]);sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit); xint = linspace(0,4,50);yint = deval(sol,xint);plot(xint,yint(1,:),'r');hold off
按“Enter”键。得图5所示。
偏微分方程PDEPE在一个空间变量和时间内求解偏微分方程。示例PDex1、PDex2、PDex3，PDex4，PDex5形成了一个关于使用PDEPE的小型教程。浏览这些函数以获取更多示例。此示例问题使用了函数PDex1Pde、PDex1IC和PDex1BC。PDex1Pde定义微分方程。type pdex1pde
PDex1IC设置初始条件。type pdex1ic
PDex1BC设置边界条件。type pdex1bc
PDEPE需要x（空间离散化）和t（希望得到解决方案快照的时间矢量）。我们使用20个节点的网格来解决这个问题，并在5个t值处请求解决方案。最后，我们提取并绘制溶液的第一组分。 x = linspace(0,1,20);t = [0 0.5 1 1.5 2];sol = pdepe(0,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t); u1 = sol(:,:,1); surf(x,t,u1);xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u');
按“Enter”键。得图6所示。