【微分几何】圆环面上的迪潘指标线可视化

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圆环面的参数方程是：r = {(2 + Cos[u]) Cos[v], (2 + Cos[u]) Sin[v], Sin[u]};为了便于计算迪潘指标线，先做一些准备工作。

再计算曲面的第二基本量：l = ruu.nn // FullSimplifym = ruv.nn // FullSimplifyn = rvv.nn // FullSimplify

这样，就可以写出迪潘指标线的标准方程式。如果以圆环面上的某个点A为原点、过点A的u曲线和v曲线的切线为x轴和y轴，那么迪潘指标线就在这个点的切平面上，其方程式是：|l*x^2+2*m*x*y+n*y^2|=1这容易求出其极坐标方程和参数方程：Solve[l*x^2 + 2*m*x*y + n*y^2 == 1 /. {x -> rr Cos[t], y -> rr Sin[t]}, rr] // FullSimplify

若A点在圆环面上的曲纹坐标是{0,0}，那么其直角坐标是{3, 0, 0}，此时的迪潘指标线如下图的蓝色椭圆。

下面更换A的曲纹坐标，u的值改变，v的值保持为0。A={Pi/2,0}此时的迪潘指标线是两条平行线。

A={Pi,0}此时迪潘指标线是双曲线。

随着u的变化，考察迪潘指标线的变化。