参考书
线性代数课本
已知a1,a2,a3,...am可以表示向量B，并且B向量不可以由Am-1线性表示。求am与a1,a2...am-1的关系以及am与a1,a2...am-1,b的关系。解题思路一个从非齐次出发一个从秩进行求解。如果秩一样一定可以线性表示否则不可以。
非齐次方程，因为b可以由a1,a2,a3,a4,...am线性表示所以可设b=k1a1+k2a2+k3a3+...kmam。但是b可以由a1,a2,a3...am-1线性表示，那么km绝对不等于0，所以am可以由a1,a2,a3...am-1,b线性表示。
假设am可以由a1,a2,a3...am-1线性表示。那么得到一个关于am可由用a1,am-1线性表示的方程，带入上面的得到b可以由a1,a2...am-1线性表示的方程，但是我们知道b不可以由a1,a2,a3...am-1线性表示。所以结论是错误的。
从秩的关系入手，增广矩阵的秩等于表示的秩。已知R（a1,a2,a3...am）=R(a1,a2,a3...am,b)的秩。R(a1,a2,a3...am-1)+1=R（a1,a2,a3...am-1,b）,R(a1,a2,a3...am)小于等于R（a1,a2,a3...am-1）+1=向量组B增广，但是又小于am的增广，但是am的增广是线性相关的，那么等于R(a1,a2,a3...am)的秩。
那么得到一个关系就是R（a1,a2,a3...am）=R(a1,a2,a3...am-1)+1。显然是线性无关的，然后又因为R（a1,a2,a3,am-1,b）=R(a1,a2,a3...am,b)根据线性表示的秩的充分必要知道增广向量组可以由前面的线性表示，一定有线性相关。
线性表示一定是需要被表示的分母不是0，那么一定是可以线性表示的。线性表示的定义比较松散，如果从秩出发，不需要证明常数非0，只要有关系表示他们的秩是一样的，也就是增广的秩等于用于表示的秩，其实也就是定义小的向量组线性无关，增加的线性相关，那么增加的那个可由其他线性表示，并且表示方法是唯一。
很多都是从定理中过来的。