【抽象代数】不定方程x^3-1=2y^3的解法

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在《【抽象代数】虚二次Euclid域》里面，我们证明了，Q[sqrt(-2)]是一个Euclid域，因此Q[sqrt(-2)]的代数整数环是唯一因子分解整环。

关于y的项的次数是2，且Q[sqrt(-2)]里面的代数整数环是唯一因子分解整环，所以我们要在Z[sqrt(-2)]里面，考察给定的不定方程。

假设上式右边两个分解式的最大公约数为δ，那么δ可以为1或sqrt(-2)。

稍作分析，就可以证明，d只能等于1。

d等于1，说明右边两个因式是互素的，因此每个因式都只能是Q[sqrt(-2)]里面的代数整数的三次方，再分别考察实部和虚部。

根据第一个式子，可以得到明确的结论：a=1,b=0,y=0,x=1于是，得到了这个不定方程的唯一的解。