本文来描述环Z[x]/(x^2+3,3)的结构。其中：Z是整数环，Z[x]则是Z与x组合得到的整系数多项式环；(x^2+3,3)是由3和x^2+3生成的Z[x]的理想I；Z[x]/(x^2+3,3)表示的是Z[x]关于I的商环Z[x]/I。
工具/原料
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电脑
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python
方法/步骤
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首先考虑Z[x]/(3)。这相当于对Z[x]里面的多项式的系数进行mod 3操作，使多项式的系数变成0或1或2。我们已经知道，Z/(3)是一个素域F3，这样，Z[x]/(3)=F3[x]。
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Z[x]/(x^2+3)相当于在多项式里面加上一个关系：x^2+3=0再把mod 3 的操作考虑进去，有：x^2=-3=0
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这样，环Z[x]/(x^2+3,3)里面的多项式就需要满足：系数只能是0、1、2；多项式只有常数项和一次项。于是可以枚举出这个环的所有可能元素：
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读者可能会有所疑惑，这些元素能保持加法和乘法封闭吗？这里，就需要大家注意，在进行加法或乘法的时候，别忘记两个关系：3=0和x^2=0。
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这是另一个环：Z[x]/(x^2+3,5)。首先知道，Z[x]/(5)=F5[x]，是系数为小于5的非负整数的多项式的集合；其次，还有一个关系是，x^2=-3=2(mod 5)，表示多项式不存在高次项。这样，这个环的元素至少包括：
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考虑两个元素的乘法，发现上面那10个元素不足以保持封闭性，还有一些元素没有列举出来。
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下面列举了25个元素。你看看是否能满足封闭性。
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