【平面几何】Erdos定理的一个纯几何初等证明

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题目见引文。下面开始逐步证明。先作BC在直线EF上的正投影MN。

因为AEOF四点共圆，所以∠AOE=∠AFE=∠BFM，所以，Rt△BFM∽Rt△AOE，进而有：MF*OA=BF*OE。

因为Rt△CEN∽Rt△AOF，进而有：EN*OA=EC*OF。

对圆内接四边形AEOF应用Ptolemy 定理：EF*AO=AF*OE+AE*OF。

因为BC≥MN，所以，BC*OA≥MN*OA，等号成立当且仅当EF//BC。因为MN=MF+EF+EN，所以：BC*OA≥(MF+EF+EN)*OA=MF*OA+EF*OA+EN*OA=BF*OE+AF*OE+AE*OF+EC*OF=AB*OE+AC*OF，两边同除以BC，有：OA≥(AB/BC)*OE+(AC/BC)*OF。

同理可证：OB≥(AB/AC)*OD+(BC/*AC)*OF，OC≥(AC/AB)*OD+(BC/AB)*OE。

三式联加，在结合均值不等式，就可以证明Erdos定理。读者务必仔细验证。