无穷级数的收敛性判断是大学高等数学考试、硕士研究生入学考试中经常会遇到的问题。笔者对怎么判断无穷级数tan[1/(n*n)]的收敛性的方法进行了整理，与大家分享！
工具/原料
高等数学教材
方法/步骤
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首先，判断无穷级数tan[1/(n*n)]是正项级数还是交错级数，如图所示，根据三角函数tanx的性质及1/(n*n)的取值区间可知：无穷级数tan[1/(n*n)]是正项级数。
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对于正项级数，是不存在条件收敛的情况的，所以，只需判断无穷级数tan[1/(n*n)]是绝对收敛的还是发散的。
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根据达朗贝尔判别法（也称比值审敛法），需要判断当n趋向于无穷大时，tan{1/[(n+1)*(n+1)]}和tan[1/(n*n)]的比值是否小于1。
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考虑到当n趋向于无穷大时，tan{1/[(n+1)*(n+1)]}和tan[1/(n*n)]都是无穷小量，根据泰勒公式以及等价无穷小相关知识（x~tanx）可作如图所示化简。
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于是，我们得到当n趋向于无穷大时，tan{1/[(n+1)*(n+1)]}和tan[1/(n*n)]的比值是小于1的。
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返回再看达朗贝尔判别法，可以得出结论：无穷级数tan[1/(n*n)]是绝对收敛的。
注意事项
有关达朗贝尔判别法的具体介绍，请参考同济大学出版社出版的《高等数学·下册》。
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