Poincare圆盘是双曲几何的一个模型，用这个模型可以构造出漂亮的图案。然而，Poincare圆盘里面两点间的距离却不容易计算。本文试图说明这个问题，以及给出距离公式。本文所用到的作图工具是网络画板，相关公式也是在网络画板里面排版的。
工具/原料
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电脑
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网络画板
方法/步骤
1
约定：本文如果不特别说明，那么所有提到的直线、距离、角度等概念，都特指双曲几何里面的概念；Poincare圆盘是平面上的单位圆内部的区域。如下图，A、B之间的线段是弧AB，直线AB指的是弧DABC。
2
那么，A、B之间的距离是什么？提醒你一下，这个距离绝对不是欧几里德几何里面的圆弧AB的长度。比如，直线AB的长度是无限大的，也就是说，弧DABC的长度是无限大。
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设A的坐标是(x,y)，B的坐标是(m,n)，那么，A、B之间的距离可以计算出来，公式如下图所示。
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如果把Poincare圆盘置于复平面上，那么：A=x+I y,B=m+I n此时的公式可以很容易的给出来。
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这样，OA之间的距离，可以简单的表示为：ln[(1+|A|)/(1-|A|))
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特别的，C是Poincare圆盘边界上的点，OC的距离就是无限大。
注意事项
详细的证明过程，可以参考集智百科的双曲空间模型，里面介绍了四种最常见的双曲几何模型，Poincare圆盘就是其中之一。